Propiedas en la Variable Aleatoria: Esperanza Matemática, Varianza y Desviación Estándar.

Esperanza Matemática

En estadística la esperanza matemática (también llamada esperanza, valoryesperado, media poblacional o media) de una variable aleatoria , es el número  que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.

TEÓRICAMENTE: E(x) significa el valor central de la distribución de probabilidad.

 VALOR ESPERADO

Valor Medio. Sea X una Variable Aleatoriadiscreta o continua. Se denomina esperanza matemática de X o valor esperado, E (X) o bien m, a la cantidad que se expresada como,

respectivamente.

Ahora bien, ello es válido para transformaciones de la variable aleatoria, de forma que

En el caso continuo y similarmente para el caso discreto

Por las analogías existentes entre la definición de media aritmética y esperanza matemática, las propiedades de linealidad de la primera se trasladan a la segunda, de forma que se puede obtener,

A través de estos ejemplos vemos que no es necesario calcular la función de probabilidad de Y, sólo tenemos que usar la función de probabilidad de X y los valores obtenidos al aplicar la

función Y = g(X) = X² . Esto es cierto aún en el caso en que la función no es uno-uno.

Principales Propiedades.

1. E (K) = K

            Ejm: E (1) = 1

2. E (k.X) = k. E (X)

            Ejm: E(1.3) = 1. E (3)

3. E (X + Y ) = E (X) + E (Y)

            Ejm: E(3 + 4 ) = E (3) + E (4) = 7

4. E (k + X) = k + E (X)

           Ejm: E (1 + 3) = 1 + E (3)

5: Si X y Y son independientes

        E (X . Y )= E(X). E(Y)

            Ejm:  E (3 . 4 )= E(3). E(4) = 12

Varianza

La varianza (σ) de una variable aleatoriaes una medida de dispersión definida como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media.

Principales propiedades.

1. La varianza de una constante es cero. V (k) = 0 =>  Ejm: V(1) = 0

                               2

2. V (k. X) = k  . V(X)

 Ejm:                          2

         V (1. 2) = 1  . V(2)

3. Si X y Y son independientes

V (X + Y)= V (X) + V (Y)

           Ejm: V (2 + 3)= V (2) + V (3) = 5

V (X - Y)= V (X) + V (Y)

           Ejm: V (2 - 3)= V (2) + V (3) = 5

4: V (k + X) = V (X)

           Ejm: V (1 + 2) = V (2)

Desviación Estándar

Como la varianza tiene unidades al cuadrado, se define la desviación típica (d.t.) (también llamada estandar) como la raiz cuadrada de la varianza:

Propiedades Principales

A su vez la desviación estándar, también tiene una serie de propiedades que se deducen fácilmente de las de la varianza (ya que la desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza):

1. La desviación estándar de una constante es cero. D (k) = 0 =>  Ejm: V(1) = √0 = 0

                               2

2. D (k. X) =√ k  . V(X)

 Ejm:                          2

         V (1. 2) = √ 1  . V(2)

3. Si X y Y son independientes

D (X + Y)=  √D (X) + D (Y)

           Ejm: D (2 + 3)=  √D (2) + D (3) = √5 = 2,23

D (X - Y)= D (X) + D(Y)

           Ejm: D (2 - 3)= √D (2) + D (3) = √5 = 2,23

4: D (k + X) = D (X)

           Ejm: D (1 + 2) = √D (2) = √ 2= 1,41